第一次翻转课堂草稿

（1） 如何求解微分方程的齐次解？齐次解有几种情况？$$$%不指出具体微分方程, 是守序邪恶的.$

对于常系数齐次线性微分方程, 求其特征根后列写齐次解.

只有一种情况: $k$$k$ 重共轭复根.

（2） 如何求解微分方程的特解？

形如

的常系数非齐次线性微分方程的特解, 可由下述思路用叠加原理求得.

属于是无聊且繁琐的计算. 如果考试不考, 我是不可能算的, 这种东西就应该交给计算机.

这里求的是任一特解, 如果给定了初值条件, 则可以依上式写出通解后代值解线性方程组.

顺便, 别忘了: 通解不一定是全部解.

高次方程的解法见复分析笔记.

（3） 什么是系统的自由响应和强制响应？

• 自由响应: 线性微分方程的齐次解.

• 强迫响应: 线性微分方程的特解.

（4） 什么是系统的固有频率（或自由频率、自然频率）？

即微分方程的特征根.

（5） 传输算子的意义是什么？

1. 简化表达式, 便于分析.

2. 部分分式展开后可以方便地求解零状态响应.

（6） 什么是零输入响应和零状态响应？

• 完全响应 $y(t)=T[\{f(t)\},\{x(0)\}]$$y(t) = T\bqty{\Bqty{f(t)}, \Bqty{x(0)}}$.

• 零状态响应 $y_{\text{zs}}(t)=T[\{f(t)\},\left\{0\right\}]$$y_\text{zs}(t) = T\bqty{\Bqty{f(t)}, \Bqty{0}}$.

• 零输入响应 $y_{\text{zi}}(t)=T[\left\{0\right\},\{x(0)\}]$$y_\text{zi}(t) = T\bqty{\Bqty{0}, \Bqty{x(0)}}$.

（7） 微分方程的齐次解、特解、系统的零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应、稳态响应、暂态响应之间的关系什么？

• 零输入响应: 自由响应的一部分. $H[r^{(k)}(0_{-})]$$H[r^{(k)}(0_-)]$.

• 零状态响应: 自由响应的一部分与强迫响应. $H[e(t)]$$H[e(t)]$.

• 自由响应: 齐次通解.

• 强迫响应: 特解.

• 稳态响应: 全解中趋于零的项.

• 暂态响应: 全解中不趋于零的项.

（8） 怎样理解系统的零输入线性和零状态线性？

线性系统满足可分解性、零输入线性和零状态线性.

1. 可分解性 $y(t)=y_{\text{zs}}(t)+y_{\text{zi}}(t)$$y(t) = y_\text{zs}(t) + y_\text{zi}(t)$.

2. 零状态线性 $T[\{a{f}_1(t)+b{f}_2(t)\},\left\{0\right\}]=aT[\{f_1(t)\},\left\{0\right\}]+bT[\{f_2(t)\},\left\{0\right\}]$$T\bqty{\Bqty{af_1(t) + bf_2(t)}, \Bqty{0}} = aT\bqty{\Bqty{f_1(t)}, \Bqty{0}} + bT\bqty{\Bqty{f_2(t)}, \Bqty{0}}$.

3. 零输入线性 $T[\left\{0\right\},\{a{f}_1(t)+b{f}_2(t)\}]=aT[\left\{0\right\},\{f_1(t)\}]+bT[\left\{0\right\},\{f_2(t)\}]$$T\bqty{\Bqty{0}, \Bqty{af_1(t) + bf_2(t)}} = aT\bqty{\Bqty{0}, \Bqty{f_1(t)}} + bT\bqty{\Bqty{0}, \Bqty{f_2(t)}}$.

而非线性系统缺乏定义.

（9） 线性常系数微分方程描述的系统在什么情况下是LTI系统？

若组成系统的元件都是参数恒定的线性元件, 则系统可用线性常系数微分方程描述, 称为定常系统. 当各元件起始无储能时, 为线性时不变 (LTI) 系统.

练习

（1）$r(t)={\text{e}}^{-t}(C_1\cos t+C_2\sin t)$$r(t) = \e^{-t} \pqty{ C_1 \cos t + C_2 \sin t }$.

自己算过了, 顺便附上 mathematica 代码.

1
DSolve[D[r[t], {t, 2}] + 2 D[r[t], t] + 2 r[t] == 0, r[t], t]

（2）$r^{\ast }(t)={\displaystyle \frac{{\text{e}}^t}{3}}$$r^*(t) = \dfrac{\e^t}{3}$.

xxxxxxxxxx
1
1
DSolve[D[r[t], {t, 2}] + 2 D[r[t], t] + 3 r[t] == 2 E^t, r[t], t]

（3）$(C{p}^2+{\displaystyle \frac{1}{R}}p+{\displaystyle \frac{1}{L}})v=p{i}_{\text{S}}$$\pqty{Cp^2 + \dfrac{1}{R} p + \dfrac{1}{L}} v = p i_\text S$, $H(p)={\displaystyle \frac{p}{C{p}^2+\frac{p}{R}+\frac{1}{L}}}$$H(p) = \dfrac{p}{Cp^2 + \cfrac{p}{R} + \cfrac{1}{L}}$.

（4.1）由线性时不变系统的定义,

解得零状态响应与零输入响应为

于是相同条件下激励 $e(t-t_0)$$e(t - t_0)$ 的全响应为

（4.2）代入得, $r_4(t)={\displaystyle \frac{\sin 2t+11{\text{e}}^{-3t}}{2}}u(t)$$r_4(t) = \dfrac{ \sin 2t + 11 \e^{-3t} }{2} u(t)$.